Högskoleprovets Matematiska Lexikon

Högskoleprovets matematiska lexikon är en unik samling av definitioner, förklaringar och begrepp för Högskoleprovets kvantitativa delar. Ett suveränt uppslagsverk och värdefull hjälp då du förbereder dig för Högskoleprovet.

Linjära ekvationer

En linjär ekvation omfattar förstagradsekvationer.

Exempel: Ekvationslösning med en obekant

$3 x + 7 = 10$ . Bestäm $x$ .

Vi vill ha x ensam i vänsterledet och börjar därför med att subtrahera 7 i båda leden:
$3 x + 7 - 7 = 10 - 7$
$3 x = 3$

Därefter dividerar vi båda led med $3$ :
$\frac{3 x}{3} = \frac{3}{3}$
$x = 3$

Svar:

x = 3

Att lösa en linjär ekvation

Linjära ekvationer med en obekant löser vi genom att successivt utföra räkneoperationer på båda leden samtidigt till vi får den obekanta ensamt i det ena ledet. Förstagradsekvationer med fler än en obekanta löser vi med grafisk lösning, substitutionsmetoden eller additionsmetoden.

Grafisk lösning

Grafisk lösning används för att lösa ekvationssystem. Kurvornas skärningspunkt i ett koordinatsystem är lösningen på ekvationssystemet.

Substitutionsmetoden

Med substitutionsmetoden bestäms de obekanta ur ett ekvationssystem och ersätter uttrycket i de andra ekvationerna.

Exempel: Substitutionsmetoden

Bestäm $x$ och $y$ med hjälp av de två ekvationerna nedan:

$y - 4 = 2 x - 1$
$x + 2 y = 21$

Ekvation 1: $y - 4 = 2 x - 1$ ger att $y = 2 x + 3$

Ekvation 2: Vi ersätter $y$ med $2 x + 3$ :
$x + 2 (2 x + 3) = 21$ :

$x + 4 x + 6 = 21$
$5 x = 15$ och $x = \frac{21 - 6}{5} = 3$

$x = 3$ insatt i ekvation 1 ger: $y - 4 = 2 \cdot 3 - 1 \Rightarrow y = 9$ .

Svar:

x = 3, y = 9

Additionsmetoden

Additionsmetoden används för att lösa ekvationssystem och innebär att ekvationerna adderas så att de obekanta försvinner.

Exempel: Additionsmetoden

Bestäm $x$ och $y$ med hjälp av de två ekvationerna nedan:

$2 y - 4 = 2 x - 6$
$y + 3 = 6$

Ekvation 1 - ekvation 2: $2 y - 4 - (y + 3) = 2 x - 6 - (6)$
$y - 7 = 2 x - 12$ och $y = 2 x - 5$

Ekvation 2: Vi ersätter $y$ med $2 x - 5$ :
$2 x - 5 + 3 = 6$
vilket ger $2 x = 8$ och $x = \frac{8}{2} = 4$

$x = 4$ insatt i ekvation 1 ger: $2 y - 4 = 2 \cdot 4 - 6 \Rightarrow y = 3$ .

Svar:

x = 4, y = 3

Ekvationers lösbarhet

Villkoren för att en ekvation ska vara lösbar är:
1. Antalet ekvationer måste vara lika många som antalet obekanta och
2. Ekvationerna måste vara linjärt oberoende.

Venndiagram

Med ett venndiagram kan vi strukturera information för bättre överskådlighet och snabbare lösa ekvationer med likheter och olikheter.

Andragradsekvation

En andragradsekvation skrivs allmänt på formen $a x^{2} + b x + c$ där a, b och c är a är konstanter eller numeriska värden och x obekant.

Diskriminanten

Diskriminanten $= {(\frac{p}{2})}^{2} - q$ är det som står under rottecknet i pq-formeln och avgör hur många lösningar en andragradsekvation har: Diskriminanten $> 0 \Rightarrow$ 2 (reella) lösningar. Diskriminanten $= 0 \Rightarrow$ 1 reell lösning. Diskriminanten $< 0 \Rightarrow$ ingen reell lösning.

Kvadratrot

En kvadratrot är ett positivt tal som multiplicerat med sig själv ger det givna talet. Kvadratroten betecknas $\sqrt{x}$

$\sqrt{4} = 2$ eftersom $2 \cdot 2 = 4$

Kubikrot

Kubikroten betecknas $\sqrt[3]{x}$

$\sqrt[3]{1000} = 10$ eftersom $10^{3} = 1000$

pq-formeln

pq-formeln används för att lösa andragradsekvationer på formen $a x^{2} + b x + c = 0$
$x = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$

p = \frac{b}{a}

och

q = \frac{c}{a}

Exempel: pq-formeln

Bestäm lösningen till ekvationen $x^{2} + 8 x + 7 = 0$

Vi använder pq-formeln. I vårt fall är $p = 8$ och $q = 7$ . Vi söker x.

$x = - \frac{8}{2} \pm \sqrt{{(\frac{8}{2})}^{2} - 7}$

$x = - \frac{8}{2} \pm \sqrt{16 - 7}$

$x = - 4 \pm \sqrt{9}$

$x = - 4 \pm 3$

Svar:

x_{1} = - 1, x_{2} = - 7

Konjugatregeln

Konjugatregeln skrivs $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$

Exempel: Konjugatregeln

Beräkna $(2 x + 2) (2 x - 2)$

Vi använder konjuatregeln och kan skriva.

$(2 x + 2) (2 x - 2) = 4 x^{2} - 4$

Svar:

(2 x + 2) (2 x - 2) = 4 x^{2} - 4

Första kvadreringsregeln

Första kvadreringsregeln skrivs $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 a b$

Exempel: Första kvadreringsregeln

Beräkna $(2 x + 2)^{2}$

Vi använder första kvadreringsregeln och kan skriva.

$(2 x + 2)^{2} = 2^{2} x^{2} + 2^{2} + 2 \cdot 2 x \cdot 2 =$
$= 4 x^{2} + 4 + 4 x$

Svar:

(2 x + 2)^{2} = 4 x^{2} + 4 + 4 x

Andra kvadreringsregeln

Andra kvadreringsregeln skrivs $(a - b)^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b$

Exempel: Andra kvadreringsregeln

Beräkna $(2 x - 2)^{2}$

Vi använder andra kvadreringsregeln och kan skriva.

$(2 x - 2)^{2} = 2^{2} x^{2} - 2^{2} - 2 \cdot 2 x \cdot 2 =$
$= 4 x^{2} - 4 - 4 x$

Svar:

(2 x - 2)^{2} = 4 x^{2} - 4 - 4 x

Kvadratkomplettering

Kvadratkomplettering används för att lösa andragradsekvationer på formen $a x^{2} + b x + c = 0$

Exempel: Kvadratkomplettering

Bestäm $x$ för ekvationen $x^{2} + 6 x - 7$

Strategin är att faktorisera vänsterledet med hjälp av den första kvadreringsregeln. Om x-termen vore negativ hade vi utnyttjat den andra kvadreringsregeln. Första kvadreringsregeln skrivs $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 a b$ . För att få vårt vänsterled på den här formen behöver vi alltså lägga till en konstantterm $b^{2}$ , samtidigt som $2 b x$ ska vara lika med x-termen i vårt vänsterled, dvs $2 b x = 6 x \Rightarrow b = 3$ .

$x^{2} + 6 x = 7$

$x^{2} + 6 x + 3^{2} = 7 + 3^{2}$

$(x + 3)^{2} = 16$

$x + 3 = \pm \sqrt{16}$

$x_{1} = 4 - 3 = 1$

$x_{2} = - 4 - 3 = - 7$

Svar:

x_{1} = 1, x_{2} = - 7

ABC-formeln

ABC-formeln används för att lösa andragradsekvationer på formen $a x^{2} + b x + c = 0$

Bråk

Ett tal i bråkform skrivs med täljare och nämnare, exempelvis $\frac{3}{4}$

Täljare

Täljare är talet ovanför bråkstrecket. I talet $\frac{3}{4}$ är talet 3 täljare.

Nämnare

Nämnare är talet under bråkstrecket. I talet $\frac{3}{4}$ är talet 4 nämnare.

Minsta gemensamma nämnare

Minsta gemensamma nämnare, MGN, är det minsta heltal som kan användas som nämnare för två eller flera bråk.

Exempel: Minsta gemensamma nämnare

$\frac{x}{3} + \frac{x}{4} = 7$ . Vad är $x$ ?

Gemensam nämnare får vi om vi multiplicerar nämnarna i våra två bråk ( $3 \cdot 4 = 12$ ). Att det även är minsta gemensamma nämnare vet vi då vi inte kan dividera 12 ytterligare samtidigt som det är jämnt delbart med våra två bråk. Vi gör om bråken till 12-delar:

$\frac{x}{3} + \frac{x}{4} = 7$

$\frac{4 \cdot x}{4 \cdot 3} + \frac{3 \cdot x}{3 \cdot 4} = 7$

$\frac{4 x}{12} + \frac{3 x}{12} = 7$

Nu har vi gemensam nämnare 12 och kan skriva bråken på gemensamt bråkstreck.

$\frac{4 x + 3 x}{12} = 7$

$\frac{7 x}{12} = 7$

Vi multiplicerar båda led med 12:

$\frac{12 \cdot 7 x}{12} = 12 \cdot 7$

$7 x = 84 \Rightarrow x = \frac{84}{7} = 12$

Svar:

x = 12

Korsvis multiplikation

Vid korsvis multiplikation av två bråk multipliceras nämnaren i vänsterledet med täljaren i högerledet och nämnaren i högerledet med täljaren i vänsterledet.
$A = \frac{π \cdot d^{2}}{4} \Rightarrow d = \sqrt{\frac{4 \cdot A}{π}}$

Inverterad nämnare

Inverterad nämnare används vid division av två bråk och genom att multiplicera den inverterade nämnaren med täljaren. Den inverterade nämnaren av $\frac{3}{4}$ är $\frac{4}{3}$

Olikhetstecken

Olikhetstecknen är $<$ mindre än, $>$ större än, $\leq$ mindre än eller lika med, $\geq$ större än eller lika med och $\neq$ inte lika med, eller är skilt från.

Olikheter

Olikheter är ekvationer som använder olikhetstecken.

Exempel: Olikheter

$- 4 \leq 2 x + 5 \leq 4$ . Inom vilket intervall finns x?

Sammansatta olikheter kan delas upp:

$- 4 \leq 2 x + 5$
$2 x + 5 \leq 4$

Olikhet 1: $- 4 \leq 2 x + 5$

$- 9 \leq 2 x \Rightarrow x \geq - \frac{9}{2}$

Olikhet 2: $2 x + 5 \leq 4$

$2 x \leq - 1 \Rightarrow x \leq - \frac{1}{2}$

Nu kan vi åter sätta ihop våra olikheter:

Svar:

- \frac{9}{2} \leq x \leq - \frac{1}{2}

Aritmetik

Inom matematiken omfattar aritmetik kalkylering av tal, vanligtvis inkluderande de fyra räknesätten.

Decimaltal

Ett decimaltal är med ett decimaltecken uppdelat i en heltalsdel och en decimaldel.

Blandad form

Ett tal i blandad form är uppdelad i en heltalsdel och en bråkdel, ex. $1 \frac{3}{4}$ .

Förlänga bråk

Vid förlängning av ett bråk multipliceras täljare och nämnare med samma tal utan att talets ursprungliga storlek förändras.
Ex. $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 4} = \frac{9}{12}$

Förkorta ett bråk

Vid förkortning av ett bråk divideras täljare och nämnare med samma tal utan att talets ursprungliga storlek förändras.
Ex. $\frac{9}{12} = \frac{9 / 3}{12 / 3} = \frac{3}{4}$

Delbarhet

Om man kan skriva heltalet $a$ som $a = b \cdot c$ , där b och c är också är heltal, så säger man att a är delbart med b eller a är delbart med c.

Exempel: Delbarhet

Bestäm alla faktorer som talet 70 är jämnt delbara med.

Talet 70 kan primtalsfaktoriseras i 2 · 5 · 7 = 70. Det här innebär att 70 är jämnt delbart med alla dessa 3 faktorer, dvs:

$\frac{70}{2} = 35$
$\frac{70}{5} = 14$
$\frac{70}{7} = 10$

70 är också jämnt delbart med produkten av alla kombinationer av dessa faktorer:

$\frac{70}{2 \cdot 5} = \frac{70}{10} = 7$
$\frac{70}{2 \cdot 7} = \frac{70}{14} = 5$
$\frac{70}{5 \cdot 7} = \frac{70}{35} = 2$
$\frac{70}{2 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{70}{70} = 1$

På samma sätt som alla andra heltal är 70 även jämnt delbart med 1.

Svar:70 är jämnt delbart med 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35 och 70.

Rest

Tal som inte är delbara kan skrivas med kvot och rest, där kvoten utgör heltalsdelen och rest bråkdelen.

Primtal

Ett primtal är bara jämnt delbart med sig själv och ett.

Exempel på primtal upp till hundra är 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,
53,59,61,67,71,73,79,83,89,97.

Faktoruppdelning

Faktoruppdelning innebär att uttrycka ett heltal i primtalsfaktorer. Exempelvis $44 = 4 \cdot 11 = 2 \cdot 2 \cdot 11$ .

Potensregler

De 7 potensreglerna innefattar:

Multiplikation av potenser: $a^{x} \cdot a^{y} = a^{x + y}$
Division av potenser: $\frac{a^{x}}{a^{y}} = a^{x - y}$
Potens av potenser: ${(a^{x})}^{y} = a^{x \cdot y}$
Potens av en produkt: ${(a \cdot b)}^{x} = a^{x} \cdot b^{x}$
Potens av en kvot: ${(\frac{a}{b})}^{x} = \frac{a^{x}}{b^{x}}$
Potens med negativ exponent: $a^{- x} = \frac{1}{a^{x}}$
Potens med exponenten noll: $a^{0} = 1$

Potens

Ett tal i potensform är uttyckt med en bas och en exponent. $potens = {bas}^{e x p o n e n t}$

Potensform

Ett tal i potensform är uttyckt med en bas och en exponent. $potens = {bas}^{e x p o n e n t}$

Bas

Vid potensräkning utgör basen det tal som ska multipliceras med sig självt.

Exponent

Vid potensräkning anger exponenten hur många gånger basen ska multipliceras.

Tiopotens

En tiopotens är ett tal med basen 10, exempelvis

$10^{0} = 1$
$10^{1} = 10$
$10^{2} = 100$
$10^{3} = 1000$

Multiplikation av potenser

För potenser som har samma bas, adderas exponenterna vid multiplikation. $2^{3} \cdot 2^{3} = 2^{3 + 3} = 2^{6} = 64$

Division av potenser

För potenser som har samma bas, subtraheras exponenterna vid division. $\frac{2^{3}}{2^{2}} = 2^{3 - 2} = 2^{1} = 2$

Potens av en potens

Vid potens av en potens multipliceras exponenterna. $(2^{3})^{3} = 2^{3 \cdot 3} = 2^{9}$

Potens med negativ exponent

En potens med negativ exponent är lika med kvoten av ett och potensen. $2^{- 3} = \frac{1}{2^{3}}$

Potens med exponenten noll

En potens med exponenten noll är lika med ett. $2^{0} = 1$

Procent

En procent är en hundradel.

Promille

En promille är en tusendel.

Ppm

En ppm är en miljontedel, från engelskan parts per million.

Andelen, delen och det hela

Andelen är hur stor delen av något är i jämförelse med det hela (totalen).

$andelen = \frac{delen}{det hela}$

Index

Index beskriver förhållandet mellan aktuellt värde och en specifik startpunkt, ofta kallad basår.

$index = \frac{det aktuella årets värde}{basårets värde}$

Räknesätt

De fyra räknesätten är:

Addition som skrivs med plustecken $+$
term $+$ term = summa.
Subtraktion skrivs med minustecken $-$
term $-$ term = differens.
Multiplikation skrivs med gångertecken eller multiplikationstecken $\cdot$
faktor $\cdot$ faktor = produkt.
Division skrivs med bråkstreck
$\frac{t ä l j a r e}{n ä m n a r e}$ = kvot

Prioriteringsreglerna

Prioriteringsreglerna beskriver räkneordning av parenteser, potenser och de fyra räknesätten enligt följande:

Parenteser
Potenser
Multiplikation och division
Addition och subtraktion

Räknerordningen

Räkneordningen beskriver prioriteringen av parenteser, potenser och de fyra räknesätten enligt följande:

Parenteser
Potenser
Multiplikation och division
Addition och subtraktion

Jämna tal

Ett jämnt tal kan uttryckas 2k, där k är ett heltal. Exempelvis -2, 0, 2.

Udda tal

Ett ojämnt tal kan uttryckas 2k + 1, där k är ett heltal. Exempelvis -3, -1, 1.

Motsatta tal

De tal som ligger lika långt ifrån talet 0 (origo) och på motsatt sida av origo kallas motsatta tal.

Absolutbelopp

Absolutbeloppet av ett negativt tal är lika med det positiva talet. Absolutbeloppet av -3 är lika med 3 och skrivs $| - 3 | = 3$

Faktorisering

Vid faktorisering av ett polynom uttrycks polynomet med minst två faktorer.

Exempelvis kan vi uttrycka $2 x^{2} + 2 x + 4$ som $2 (x^{2} + x + 2)$

Avrundning

Avrundning är ett sätt att uttrycka ett tal approximativt.

Exempel: 15,4 avrundas till 15: 15,4

\approx

15 och 15,5 avrundas till 16: 15,5

\approx

16.

Värdersiffror

Värdesiffror används för att beskriva hur noggrant ett tal är.

Talbas

Talbas anger hur tolkning görs av de platsvärden som ett talsystem uttrycker.

Normalt använder vi talbasen tio. I talet 213 med talbasen tio står talet 2 för 200 (2 · 10²) talet 1 för 10 (1 · 10¹) och talet 3 för 3 (3 · 10⁰).

I talet 213 med basen 8 står talet 2 för 128 (2 · 8²) talet 1 för 8 (1 · 8¹) och talet 3 för 3 (3 · 8⁰) = 128 + 8 + 3 = 139_tio. Alltå 213_åtta = 139_tio.

Talsystem

Ett talsystem anger hur ett tals värden bestäms, exempel på talsystem är digitalt och binärt.

Aritmetisk talföljd

En aritmetisk talföljd har alltid samma differens mellan termerna och skrivs $a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d$
Differensen, d mellan elementen är konstant, exempelvis 1, 3, 5, 7, …

Aritmetisk summa

En aritmetisk summa är summan av de n första elementen i en aritmetisk talföljd och skrivs $s_{n} = \frac{n \cdot (a_{1} + a_{n})}{2}$

Geometrisk talföljd

I en geometrisk talföljd är kvoten mellan två intilliggande tal konstant. Talföljden skrivs $\frac{a_{n}}{a_{n - 1}} = k$ där a är talföljdselementet, k är kvoten mellan två intilliggande tal och n är elementnumret.

Geometrisk summa

En geometrisk summa skrivs $s_{n} = \frac{a_{1} \cdot (k^{n} - 1)}{k - 1}$ a är talföljdselementet , k är kvoten mellan två intilliggande tal och n är elementnumret.

Funktion

En funktion beskriver relationen mellan en definitionsmängd och en värdemängd.

Definitionsmängd

Definitionsmängden är de värden som variabeln kan anta.

Värdemängd

Värdemängden är de värden som funktionen kan anta.

Variabel

En variabel representerar en föränderlig kvantitet, exempelvis en obekant.

Proportionalitet

Proportionalitet råder då förhållandet mellan ingående variabler är konstant.

Proportionalitetskonstanten

Proportionalitetskonstanten beskriver förhållandet mellan proportionella variabler.

Omvänd proportionalitet

Om två variabler är omvänt proportionella innebär det att om den ena variabeln ökar, så minskar den andra variabeln proportionellt mot den första variabeln.

Avståndsformeln

Avståndsformeln anger avståndet mellan två punkter.
$d = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$

Mittpunktsformeln

Mittpunktsformeln anger mittpunkten mellan två punkter.
$x_{m} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ och $y_{m} = \frac{y_{1} + y_{2}}{2}$

Koordinat

En koordinat anger en punkts läge i ett koordinatsystem.

Koordinatsystem

Ett koordinatsystem är ett system av linjer som möjliggör att ange varje punkts läge i förhållande till linjerna.

En potensfunktion

En potensfunktion är en funktion av ett polynom som i grunform anges
$f (x) = C \cdot a x^{n}$ $a > 0$ ger en konkav kurva, "glad mun". $< 0$ ger en konvex kurva, "ledsen mun".

Nollställe

För en andragradsfunktion anger nollstället de punkter där kurvan skär x-axeln (där y=0).

Extrempunkt

En extrempunkt är endera funktionens absoluta minvärde eller absoluta maxvärde.

Graf

En graf används för att åskådliggöra funktioner.

Minimipunkt

En minimipunkt är den punkt där en funktion antar sitt minsta värde.

Maximipunkt

En maximipunkt är den punkt där en funktion antar sitt största värde.

Vertex

Vertex är den punkt där en funktion vänder, exempelvis en minimipunkt.

Symmetrilinje

För en andragradsfunktion med två nollställen anger symmetrilinjen x-värdet av extrempunkten

Parabel

En parabel är en kurva av en andragradsfunktion

Konkav kurva

En konkav kurva är en inåtbuktad, skålformad kurva.

Konvex kurva

En konvex kurva är en utåtbuktad, kupig kurva.

Exponentialfunktion

En exponentialfunktion är en funktion som i grunform anges $f (x) = C \cdot a^{x}$

Räta linjens ekvation

Räta linjens ekvation skrivs $y = k x + m$

Riktningskoefficient

Riktningskoefficienten k anger en rät linjes lutning och riktning.

k-värde

k-värdet anger värdet på riktningskoefficienten.

m-värde

Kurvans m-värde anger var linjen skär y-axeln.

Konstantterm

Kurvans konstantterm (m-värde) anger var linjen skär y-axeln.

Intercept

Kurvans intercept (m-värde) anger var linjen skär y-axeln.

Enpunktsformeln

Enpunktsformeln används för att bestämma en rät linjes ekvation då riktningskoefficienten och en punkt på linjen är given.
$y - y_{1} = k (x - x_{1})$

Parallella linjer

Två räta linjer är parallella om de har samma riktningskoefficient.

Vinkelräta linjer

Två räta linjer är vinkelräta om kvoten av riktningskoefficienterna = -1.

Allmän form

En rät linjes ekvation på allmän form är $y - k x - m = 0$

k-form

En rät linjes ekvation på k-form är $y = k x + m$

Geometri

Inom matematiken är geometri studien av figurer och figurers egenskaper.

Cirkelns omkrets

En cirkels omkrets är lika med cirkelns diameter multiplicerat med pi.
$O = d \cdot π$

Cirkelns area

En cirkels area är lika med pi multiplicerat med cirkelns radie i kvadrat.
$A = π r^{2}$

Cirkelns radie

En cirkelns radie är avståndet från mittpunkten till cirkelns periferi.

Cirkelns diameter

En cirkels diameter är avståndet från perierin genom mittpunkten till periferin på motstående sida av cirkeln.

Pi skrivs $π$ och är cirka $3, 14$ . Pi definieras som cirkelns omkrets dividerat med dess radie.

Cirkelsektor

Cirkelsektor är en sammanhängande del av en cirkel.

Båglängd

En sammanhängande del av cirkelns omkrets kallas cirkelbåge.

Medelpunktsvinkeln

Storleken på cirkelsektorn i förhållande till tillhörande cirkel bestäms av medelpunktvinkeln, ofta representerat av $α$ .

Vikt

SI-enheten för vikt är kilogram, kg.

Ton

Ett ton är lika med 1 000 kg.

Hektogram

Ett hektogram, hg är en tiondels kilogram.

Gram

Ett gram, g är en tusendels kilogram.

Längd

SI-enheten för längd är meter, m.

Mil

En mil är tio kilometer.

Kilometer

En kilometer, km är ett tusen meter.

Decimeter

En decimeter, dm är en tiondels meter.

Centimeter

En centimeter, cm är en hundradels meter.

Millimeter

En millimeter, mm är en tusendels meter.

Hastighet

Hastighet är lika med sträcka multiplicerat med tid.

Km/h till m/s

1 km/h är cirka 0,28 m/s.

M/s till km/h

1 m/s är lika med 3,6 km/h.

M/s till knop

1 m/s är cirka 2 knop

Km/h till knop

1 km/h är cirka 0,54 knop.

Knop till km/h

1 knop är cirka 1,85 km/h.

Knop till m/s

1 knop är cirka 0,5 m/s.

Tera

Tera, T står för $10^{12}$

Giga

Giga, G står för $10^{9}$

Mega

Mega, M står för $10^{6}$

Kilo

Kilo, k står för $10^{3}$

Hekto

Hekto, h står för $10^{2}$

Deci

Deci, d står för $10^{- 1}$

Centi

Centi, c står för $10^{- 2}$

Milli

Milli, m står för $10^{- 3}$

Mikro

Mikro betecknas $μ$ och är $10^{- 6}$

Nano

Nano, n står för $10^{- 9}$

Piko

Piko, p står för $10^{- 12}$

Kongruent

Två objekt som har samma storlek och form, men kan vara olika orienterade är kongruenta.

Pyhagoras sats

Pythagoras sats säger att för en rätvinklig triangels sidor är kvadraten på hypotenusan lika med summan av kvadraterna på kateterna. $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ . Sidan c är hypotenusan som är den längsta sidan. a och b är kateter.

Hypotenusan

Hypotenusan är den längsta sidan i en rätvinklig triangel och är motstående sida till den räta vinkeln.

Katet

Katet är benämningen på var och en av de två sidor vilka bildar den räta vinkeln i en triangel.

Triangelolikheten

I en triangel är längden av en viss sida mindre än eller lika med summan av längderna av de övriga sidorna, men större än eller lika med differensen mellan dessa sidor.

Likformighet

Två geometriska figurer är likformiga om de har exakt samma form, men inte nödvändigtvis samma storlek. Två objekt är likformiga om:
1. Vinklarna i det ena objektet är lika stora som vinklarna i det andra objektet
2. och/eller om förhållandet mellan motsvarande sidor i objekten är detsamma.

Topptriangelsatsen

Topptriangelsatsen säger att den topptriangel som bildas av en parallelltransversal är likformig med hela triangeln.

Transversalsatsen

Transversalsatsen säger att en parallelltransversal som delar två sidor av en triangel, delar dessa båda sidor i samma förhållande,

Bisektrissatsen

Bisektrissatsen säger att en bisektris (en linje som delar en vinkel i två lika delar) i en triangel delar motstående sida i samma proportioner som längderna av de sidor som bildar den delade vinkeln.

Längdskala

Längdskala anger längdförhållandet av en avbildning mot verkligheten.

Areaskala

Areaskala anger areaförhållandet av en avbildning mot verkligheten.

Volymskala

Volymskala anger volymförhållandet av en avbildning mot verkligheten.

Arean av en kvadrat

Area av en kvadrat = ${sidan}^{2}$

Arean av en rektangel

Area av en rektangel = $basen \cdot höjden$

Arean av en triangel

Area av en triangel = $\frac{basen \cdot höjden}{2}$

Arean av en parallellogram

Area av en parallellogram = $basen \cdot höjden$

Arean av ett parallelltrapets

Area av ett parallelltrapets = $\frac{höjden (a + b)}{2}$ där a och b är längden av respektive sida i parallelltrapetsen.

Arean av en cirkelsektor

Arean av en cirkelsektor = $\frac{α}{360} \cdot π r^{2} = \frac{b r}{2}$

Volymen av en prisma

Volymen av en prisma = $basarean \cdot höjden$

Volymen av en cylinder

Volymen av en cylinder = $π \cdot r^{2} \cdot h$

Volymen av en pyramid

Volymen av en pyramid = $\frac{π r^{2} h}{3}$

Volymen av en kon

Volymen av en kon = $\frac{π r^{2} h}{3}$

Arean av ett klot

Volymen av en kon = $\frac{4 π r^{3}}{3}$

Omkretsen av en kvadrat

Omkretsen av en kvadrat = $4 \cdot sidan$

Omkretsen av en rektangel

Omkretsen av en rektangel = $2 (bas + höjd)$

Omkretsen av en triangel

Omkretsen av en triangel är summan av sidolängderna.

Omkretsen ev en parallellogram

Omkretsen av en parallellogram = $2 (a + b)$ där a och b är längden av parallellogramens respektive sidor.

Omkretsen av ett parallelltrapets

Omkretsen av ett parallelltrapets = summan av sidolängderna.

Omkretsen av en cirkel

Omkretsen av en cirkel = $π d$

Omkretsen av en cirkelsektor

Omkretsen av en cirkelsektor = $= 2 r + b$ där b är båglängden = $\frac{α}{360} \cdot 2 π r$

Spetsvinklig triangel

I en spetsvinklig triangel är alla vinklar mindre än $90^{o}$

Rätvinklig triangel

I en rätinklig triangel är en vinkel lika med $90^{o}$

Trubbvinklig triangel

I en trubbvinklig triangel är en vinkel större än $90^{o}$

Likbent triangel

I en likbent triangel är två ben lika långa och basvinklarna lika stora.

Liksidig traingel

I en liksidig triangel är alla ben lika långa och alla vinklar = $60^{o}$

Egyptisk triangel

I en egyptisk triangel är sidorna 3, 4, 5 längdenheter.

Vertikalvinkel

Två motsatta vinklar som bildas då en transversal skär två parallella linjer kallas vertikalvinklar och är lika stora.

Likbelägen vinkel

Vinklarna i motsvarande hörn som bildas då en transversal skär två parallella linjer kallas likbelägna vinklar och är lika stora.

Alternatvinkel

Alternatvinklar är de parvis motsatt placerade vinklarna som bildas då en transversal skär två parallella linjer. Alternatvinklar är lika stora.

Supplementvinkel

Två supplementvinklar har vinkelsumman $180^{o}$

Statistik

Matematisk statistik är metodik och lösningsteori för statistik utifrån matematisk ståndpunkt.

Medelvärde

Ett medelvärde är ett genomsnittligt värde av en serie med sifferdata. $\frac{Summan av värdena}{Antal värden}$

Median

En median är det värde för ett ordnat datamaterial som delar materialet i två lika stora delar.

Medianen av udda antal tal: Det mittersta talet om de ordnas i storleksordning.
Medianen av ett jämnt antal tal: Medelvärdet av de två mittersta talen om de ordnas i storleksordning.

Typvärde

Ett typvärde är det värde som förekommer flest gånger i en serie med sifferdata.

Variationsbredd

Variationsbredd defineras som differensen mellan maxvärdet och minvärdet i en serie med sifferdata. Då variationsbredden I en datamängd är lika med noll betyder det att alla tal I datamängden är lika stora.

Sannolikhet

Sannolikhet betecknas P och beskriver hur troligt det är att en händelse inträffar.

Sannolikhetsdefinitionen

Sannolikhetsdefinitionen är lika med kvoten av antalet gynnsamma utfall och antalet möjliga utfall. $P = \frac{Antalet gynnsamma utfall}{Antalet möjliga utfall}$

Komplementhändelse

Komplementhändelse är alla utfall som inte är gynnsamma.

Oberoende händelse

Två händelser är oberoende om utfallet av den första händelsen inte påverkar utfallet av den andra händelsen.

Beroende händelse

Två händelser är beroende om utfallet av den första händelsen påverkar utfallet av den andra händelsen.

Cirkeldiagram

Cirkeldiagram och ringdiagram (även kallat munkdiagram). Visar andelar av totalen som tårtbitar, ofta uttryckt i procent.

Histogram

Histogram visar förekomsten (frekvensen) i en fördelning efter olika grupper.

Linjediagram

Linjediagram och kurvdiagram visar data fördelad jämnt längs den vågräta axeln.

Punktdiagram

Punktdiagram (även kallat sambandsdiagram eller spridningsdiagram) och Bubbeldiagram liknar linjediagrammet, men förutsätter inte kontinuerlig data (exempelvis tid) längs den vågräta axeln. Bubbeldiagram används för att med en tredje dimension kan ange storleken på bubblorna.

Radardiagram

I radardiagram (även kallat spindelnätsdiagram) utgår alla axlar från samma nollpunkt och kategorierna är ofta inte direkt jämförbara.

Stapeldiagram

Stapeldiagram och stolpdiagram visar vanligtvis kategorier längs den vågräta axeln och värden längs den lodräta axeln.

Ytdiagram

Ytdiagram (även kallat areadiagram) påminner om linjediagrammen, men informationen överlappar varandra så att trender blir tydliga.

Kombinationsdiagram

Kombinationsdiagram är uppbyggda som kombination av en eller flera olika diagram, exempelvis stapeldiagram i kombination med linjediagram. I kombinationsdiagram är det vanligt med två vertikala axlar som var och en för sig representerar olika värdekategorier.

Tabeller

Tabeller består av rader, kolumner och celler.

Radsumma

Summan av en tabellrad kallas radsumma.

Kolumnsumma

Summan av en tabellkolumn kolumnsumma.

Tabellsumma

Summan av tabellraderna = summan av kolumnsummorna = tabellsumma.

Frekvenstabeller

Frekvenstabeller visar förekomst, dvs. hur ofta något inträffar utifrån tabellens kategorier.

Relativ frekvens

Relativ frekvens är lika med frekvensen delat med "det hela". Beroende på hur uppgiften är formulerad kan "det hela" endera vara radsumma eller kolumnsumma eller tabellsumma.

Väderstreck

Väderstreck anger en riktning. Normalt använder vi 4, 8 eller 16 olika vädersträck.

De vanligaste väderstrecken

De fyra vanligaste vädersträcken är norr eller nord (N), söder eller syd (S), öster, öst eller ost (O) och väster eller väst (V). Mellan de vanligaste fyra väderstrecken finns fyra till väderstreck: Nordost (NO), sydost (SO), sydväst (SV) och nordväst (NV). För att ytterligare detaljera riktningen finns ytterligare åtta väderstreck: Nordnordost (NNO), ostnordost (ONO), ostsydost (OSO), sydsydost (SSO), sydsydväst (SSV), västsydväst (VSV), västnordväst (VNV) och nordnordväst (NNV).

Norr

På de flesta kartor är norr uppåt på kartan alternativt används norrpil som visar riktningen mot norr på kartan.

Förminskning

I kartor behöver vi ofta göra förminskningar och anger detta med kartskala. En förminskning där 1 cm på kartan motsvarar 1 m i verkligheten betecknar vi 1:100 (1 cm motsvarar 100 cm).

Politiska kartor

Politiska kartor är de vanligaste förekommande kartorna är indelade efter landsgränser.

Fysiska kartor

Fysiska kartor utgår från geografiska variationer i landskapet. Olika färger representerar vattendrag, skogar, odlingsmark, osv.

Topografiska kartor

Orienteringskartor och sjökort är exempel på topografiska kartor. Utmärker höjder i landskapet med höjdlinjer och djup i hav och sjöar med djupkurvor.

Klimatkartor

Klimatkartor är indelade efter klimatzoner. Den sk. zonkartan delar in Sverige i åtta växtzoner beroende på årlig medeltemperatur. Från zon 1 i söder till zon 8 i norr.

Ekonomiska kartor

På ekonomiska kartor finner vi fastighetsgränser, indelning av tomtmark, jordbruksmark, skog, osv.

Vägkartor

Vägkartor är utformade för att förenkla vägtransporter med utritade och numrerade vägar, flygplatser, städer, campingplatser, sevärdheter, osv.

Tematiska kartor

Tematiska kartor delar in kartan efter ett specifikt tema exempelvis demografi, religion och BNP.